1-tg^2(a)/1+tg^2(a)=cos(2a) (доказать тождество)

Для доказательства тождества $\frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)} = \cos(2a)$ используем некоторые тригонометрические формулы.

1. Начнём с формулы для косинуса двойного угла:

   $$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$$

   Однако можно выразить эту формулу через тангенс, используя известные тождества для синуса и косинуса:

   $$\cos^2(a) = \frac{1}{1 + \tan^2(a)}, \quad \sin^2(a) = \frac{\tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)}$$

2. Подставляем эти выражения в формулу для косинуса двойного угла:

   $$\cos(2a) = \frac{1}{1 + \tan^2(a)} - \frac{\tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)}$$

   Приводим дроби к общему знаменателю:

   $$\cos(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)}$$

3. Мы получаем нужное выражение, которое и было доказано:

   $$\frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)} = \cos(2a)$$

Таким образом, тождество доказано.