Каждую клетку таблицы 3 × 3 раскрашивают в один из трёх цветов так, что клетки, имеющие общую сторону, имеют разный цвет, причём необязательно
все три цвета использованы. Сколько существует таких раскрасок?
Ответ должен быть 246. Как получить такой ответ?

Чтобы найти количество возможных раскрасок для таблицы 3 × 3, где используются три цвета, а соседние клетки имеют разные цвета, рассмотрим условие задачи и построим рассуждение пошагово.

1. Условия задачи

У нас есть:

• Таблица размером $3 \times 3$, то есть 9 клеток.
• Три цвета, которыми можно раскрашивать клетки.
• Требование, чтобы соседние клетки (имеющие общую сторону) были раскрашены в разные цвета.
• Необязательно использовать все три цвета: можно ограничиться двумя, но при этом правило для соседних клеток должно соблюдаться.

Задача состоит в том, чтобы подсчитать все возможные раскраски, которые удовлетворяют этим условиям.

2. Анализ и упрощение

Начнем с рассмотрения общей структуры таблицы 3 × 3. Если клетки раскрашены так, что соседние клетки имеют разные цвета, то можно представить эту таблицу как шахматное поле. То есть, все клетки одной «четности» (например, все, что находятся на белых клетках шахматной доски) должны быть одного цвета, а клетки другой четности (черные клетки) — другого цвета. В таблице 3 × 3 центральная клетка имеет другую четность по сравнению с угловыми и краевыми клетками, что усложняет задачу.

Однако, благодаря правилу, что соседние клетки должны иметь разные цвета, становится возможным создать несколько вариантов раскраски.

3. Подсчет количества раскрасок

Рассмотрим два случая:

• Случай 1: Используются только два цвета.
• Случай 2: Используются все три цвета.

Случай 1: Два цвета

Если мы используем только два цвета, то раскраска будет уникально определяться распределением четности клеток, как в шахматной раскраске. Клетки одной четности будут одного цвета, а другой четности — другого цвета.

Для этого случая существует 2 варианта выбора цветов (какие два из трех будут использованы), а для каждого выбора будет 2 способа раскрасить (какой цвет назначить клеткам одной четности и какой — другой).

Таким образом, для случая с двумя цветами будет:

Случай 2: Три цвета

Когда используются все три цвета, задача становится сложнее. Центральная клетка должна отличаться по цвету от всех соседних (то есть угловых и краевых клеток), а каждая соседняя пара (краевая и угловая клетка) также должна быть разных цветов. Это условие позволяет значительно сузить возможные варианты раскрасок.

Для центральной клетки можно выбрать любой из трех цветов. После выбора цвета для центра, четыре угловых клетки будут попарно окрашены в два других цвета (чтобы не совпадать по цвету с центральной клеткой и между собой).

Пусть центральная клетка раскрашена в цвет $A$:

• Четыре угловых клетки должны быть раскрашены цветами $B$ и $C$ попарно, что даёт $2$ способа раскраски угловых клеток.
• Оставшиеся четыре краевых клетки (середины сторон) также будут раскрашены цветами $B$ и $C$ попарно. Для них тоже будет $2$ способа раскрасить их.

Итак, для каждого выбора центрального цвета мы получаем $2 \times 2 = 4$ способа раскраски краевых и угловых клеток.

Поскольку центральная клетка может быть раскрашена любым из трёх цветов, мы имеем:

4. Итоговый подсчёт

Теперь складываем оба случая: