Логарифм по основанию 5х-1 числа 2 больше либо равно 0. Решите неравенство

Ответы на вопрос

Отвечает Афонин Денис.

Решаем неравенство:

\log_{5x-1} 2 \ge 0

Сначала нужно учесть область допустимых значений логарифма.

Для логарифма $\log_a b$ должны выполняться условия:

a>0,\quad a\ne 1,\quad b>0

Здесь основание:

a=5x-1

Число под логарифмом равно $2$ , оно положительное, значит с ним всё в порядке.

Теперь условия на основание:

5x-1>0

5x>1

x>\frac15

Также основание не должно быть равно $1$ :

5x-1\ne 1

5x\ne 2

x\ne \frac25

Теперь решаем само неравенство:

\log_{5x-1} 2 \ge 0

Логарифм числа $2$ будет неотрицательным в зависимости от основания.

Рассмотрим два случая.

1. Основание больше 1:

5x-1>1

5x>2

x>\frac25

Если основание больше $1$ , то логарифм числа, большего $1$ , положителен. Так как $2>1$ , получаем:

\log_{5x-1}2>0

Значит все $x>\frac25$ подходят.

2. Основание между 0 и 1:

0<5x-1<1

1<5x<2

\frac15

Если основание находится между $0$ и $1$ , то логарифм числа, большего $1$ , отрицателен. Значит:

\log_{5x-1}2<0

А нам нужно, чтобы он был больше либо равен нулю, поэтому этот промежуток не подходит.

Точка

x=\frac25

тоже не подходит, потому что тогда основание логарифма равно $1$ , а логарифм с основанием $1$ не существует.

Итак, ответ:

\boxed{x>\frac25}

Или в виде промежутка:

\boxed{\left(\frac25;+\infty\right)}

Ответы на вопрос