Из цифр 1, 2, 3, 4 составили всевозможные четырёхзначные числа, в записи которых каждая из этих цифр присутствует только один раз. Докажите, что сумма полученных чисел делится на 6.

Всего можно составить \(4! = 24\) различных четырёхзначных числа.

В каждом разряде (тысячи, сотни, десятки, единицы) каждая из цифр 1, 2, 3, 4 встречается одинаковое число раз — по \(24 / 4 = 6\) раз.

Сумма всех цифр: \(1+2+3+4 = 10\).

Тогда сумма всех чисел равна \(6 \times 10 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 \times 1111 = 66660\).

Число 66660 оканчивается на 0, значит, оно чётное — делится на 2.

Сумма его цифр \(6+6+6+6+0 = 24\) делится на 3, поэтому и само число делится на 3.

Так как число делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.

0 0 Пожаловаться