Найдите уравнение касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cos t) в точке M(a(π/2 - 1); a).

Находим параметр \( t \), соответствующий точке \( M \): из \( y = a(1 - \cos t) = a \) получаем \( \cos t = 0 \), \( t = \frac{\pi}{2} \). Тогда \( x = a\left(\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}\right) = a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) \) — верно. Производная: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t} \). При \( t = \frac{\pi}{2} \): \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-0} = 1 \). Уравнение касательной: \( y - a = 1 \cdot \left(x - a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)\right) \), откуда \( y = x + a\left(2 - \frac{\pi}{2}\right) \).

0 0 Пожаловаться