Найти производные первого порядка данных функций

у= 3x^5– sinx ,

2) у=корень (Х) tgx

3) y=lnx/4-3cosx

4) y= под общей скобкой { x=arcsin 2t,

{ y=1/1-4t^2

Подробное решение,пжл

1) \( y=3x^5-\sin x \)

Используем правила: \((x^n)'=nx^{n-1}\), \((\sin x)'=\cos x\).

\[ y'=15x^4-\cos x \]

2) \( y=\sqrt{x}\,\tg x \)

Это произведение двух функций: \(u=\sqrt{x}\), \(v=\tg x\). Тогда \((uv)'=u'v+uv'\).

\[ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x} \]

Значит:

\[ y'=\frac{\tg x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\cos^2 x} \]

3) \( y=\frac{\ln x}{4}-3\cos x \)

Производная \((\ln x)'=\frac{1}{x}\), а \((\cos x)'=-\sin x\).

\[ y'=\frac{1}{4x}+3\sin x \]

4) Параметрически заданная функция:

\[ x=\arcsin(2t), \quad y=\frac{1}{1-4t^2} \]

Для параметрической функции:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \]

Находим производные по \(t\):

\[ \frac{dx}{dt}=\frac{2}{\sqrt{1-4t^2}} \]

\[ \frac{dy}{dt}=\frac{8t}{(1-4t^2)^2} \]

Делим:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{8t}{(1-4t^2)^2}\cdot\frac{\sqrt{1-4t^2}}{2}=\frac{4t}{(1-4t^2)^{\frac{3}{2}}} \]

Ответ:

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{4t}{(1-4t^2)^{\frac{3}{2}}} \]

0 0 Пожаловаться