cos^2 (pi/8 + x) + cos^2 (pi/8 - x) = 3/2

Решим уравнение:

\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}+x\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\frac{3}{2} \]

Используем формулу \( \cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2} \).

Тогда:

\[ \frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)}{2}+\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)}{2}=\frac{3}{2} \]

Умножим на \(2\):

\[ 2+\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=3 \]

По формуле суммы косинусов:

\[ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \]

Получаем:

\[ 2+2\cos\frac{\pi}{4}\cos 2x=3 \]

Так как \( \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \), то:

\[ 2+\sqrt2\cos 2x=3 \]

\[ \cos 2x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \]

Значит:

\[ 2x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z \]

Ответ:

\[ x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z \]

0 0 Пожаловаться