Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ1=7 см; б) АС:СВ = 3:2 и ВВ1 = 20 см.

Рассмотрим решение задачи, используя геометрические соотношения и пропорции.

Общие соображения:

1. Описание ситуации: Плоскость пересекает прямые, проведенные через точки $B$ и $C$, в точках $B_1$ и $C_1$. Нужно найти длину отрезка $CC_1$.
2. Замечание: Длина $CC_1$ зависит от положения точки $C$ на отрезке $AB$ и длины $BB_1$.

Часть (а): Точка $C$ — середина отрезка $AB$, $BB_1 = 7 \, \text{см}$

1. Точка $C$: Поскольку $C$ — середина $AB$, отрезок $AC = CB = \frac{1}{2} AB$.

2. Параллельные прямые: При пересечении плоскостью, отрезки $BB_1$ и $CC_1$ будут пропорциональны длинам частей $AB$, от которых проведены точки $B$ и $C$.

   $$\frac{CC_1}{BB_1} = \frac{AC}{AB}$$

   Поскольку $C$ — середина $AB$, то $AC = CB = \frac{AB}{2}$, и $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$.

3. Отношение отрезков:

   $$\frac{CC_1}{7} = \frac{1}{2} \implies CC_1 = \frac{7}{2} = 3.5 \, \text{см}.$$

Ответ (а): $CC_1 = 3.5 \, \text{см}$.

Часть (б): Отношение $AC:CB = 3:2$, $BB_1 = 20 \, \text{см}$

1. Разделение отрезка $AB$: По условию, $AC:CB = 3:2$. Пусть $AB = x$, тогда:

   $$AC = \frac{3}{5}x, \, CB = \frac{2}{5}x.$$

2. Параллельные прямые: Как и в предыдущем случае, отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пропорциональны длинам частей $AB$, от которых проведены точки $B$ и $C$:

   $$\frac{CC_1}{BB_1} = \frac{AC}{AB}.$$

3. Отношение отрезков: Подставляем известные значения:

   $$\frac{CC_1}{20} = \frac{\frac{3}{5}x}{x}.$$

   Упрощаем:

   $$\frac{CC_1}{20} = \frac{3}{5}.$$

4. Нахождение $CC_1$:

   $$CC_1 = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \, \text{см}.$$

Ответ (б): $CC_1 = 12 \, \text{см}$.

Итоговые ответы:

а) $CC_1 = 3.5 \, \text{см}$