Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади S наименьший периметр.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a\) и \(b\). Тогда площадь:

\[ S=\frac{ab}{2} \]

Значит, \(ab=2S\). Нужно сделать периметр

\[ P=a+b+\sqrt{a^2+b^2} \]

наименьшим при фиксированном произведении \(ab\).

Минимальный периметр получится, когда катеты равны: \(a=b\). Тогда треугольник равнобедренный прямоугольный.

Из условия:

\[ \frac{a^2}{2}=S \]

\[ a^2=2S \]

\[ a=\sqrt{2S} \]

Гипотенуза:

\[ c=a\sqrt2=\sqrt{2S}\cdot\sqrt2=2\sqrt S \]

Ответ: катеты равны \(\sqrt{2S}\) и \(\sqrt{2S}\), гипотенуза равна \(2\sqrt S\).

0 0 Пожаловаться