В круге проведены два диаметра — AD и SF, и их конечные точки соединены. Вычислите углы полученных треугольников, если угол DSF = 40°.

Так как $AD$ и $SF$ — диаметры, можно использовать свойство: угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }$.

Дан угол:

Рассмотрим треугольник $DSF$. Так как $SF$ — диаметр, то:

Тогда третий угол:

Получаем:

Теперь найдём углы остальных треугольников, образованных четырьмя концами диаметров.

1. Треугольник $ASF$

Так как $AD$ — диаметр, угол при $S$:

Угол $\angle DFS=50^{\circ }$, а противоположные углы, опирающиеся на равные дуги, дают:

Тогда:

Значит:

2. Треугольник $ASD$

Так как $AD$ — диаметр:

Остальные углы:

Получаем:

3. Треугольник $ADF$

Так как $AD$ — диаметр:

Оставшиеся углы:

Итак:

Все полученные треугольники имеют одни и те же углы:

То есть каждый из четырёх треугольников, полученных при соединении концов двух диаметров, является прямоугольным с острыми углами $40^{\circ }$ и $50^{\circ }$.