Парочка задач ТВИМС.

1) Найти ковариацию cov(C,ξ), где ξ — некоторая случайная величина, а C — константа.

2) Случайные величины ξ∼E(2) и η∼R(−2;0). Что больше M[ξ²] или D[η]?

3) Закон распределения случайного вектора z задан с помощью таблицы. Исследовать ξ и η на независимость.

1) Ковариация константы и случайной величины равна нулю:

\[ \operatorname{cov}(C,\xi)=M[(C-MC)(\xi-M\xi)] \]

Так как \(MC=C\), получаем \(C-MC=0\), значит:

\[ \operatorname{cov}(C,\xi)=0 \]

2) Если \(\xi\sim E(2)\), то для показательного распределения с параметром \(\lambda=2\):

\[ M[\xi^2]=\frac{2}{\lambda^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

Если \(\eta\sim R(-2;0)\), то для равномерного распределения:

\[ D[\eta]=\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{(0-(-2))^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \]

Сравним:

\[ \frac{1}{2}>\frac{1}{3} \]

Значит, больше \(M[\xi^2]\).

3) Таблица распределения случайного вектора не приведена, поэтому проверить независимость численно нельзя. Правило такое: нужно найти частные распределения \(P(\xi=x_i)\) и \(P(\eta=y_j)\), а затем для каждой клетки проверить:

\[ P(\xi=x_i,\eta=y_j)=P(\xi=x_i)P(\eta=y_j) \]

Если равенство выполняется для всех клеток таблицы, то \(\xi\) и \(\eta\) независимы. Если хотя бы для одной клетки не выполняется, они зависимы.

0 0 Пожаловаться