Помогите пожалуйста 1)В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8, третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию
2)Вероятность поражения земляники вирусным заболеванием равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
3)Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4)Найти дисперсию случайной величины Y= -3x - 4 если известно, что D(X) = 4

1. Задача про билет

Условие:

• Первая задача решается с вероятностью $P_1 = 0.9$,
• Вторая — с вероятностью $P_2 = 0.8$,
• Третья — с вероятностью $P_3 = 0.7$.

Решение:

Число правильно решенных задач $X$ принимает значения $0, 1, 2, 3$. Для определения закона распределения воспользуемся формулой полной вероятности. Для каждого значения $X = k$ вычисляем вероятность:

1. $P(X = 0)$: Ни одна задача не решена.

2. $P(X = 1)$: Ровно одна задача решена. Возможны три случая:

• Первая решена: $P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3)$,
• Вторая решена: $(1 - P_1) \cdot P_2 \cdot (1 - P_3)$,
• Третья решена: $(1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \cdot P_3$.

Суммируем:

3. $P(X = 2)$: Ровно две задачи решены:

• Первая и вторая: $P_1 \cdot P_2 \cdot (1 - P_3)$,
• Первая и третья: $P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot P_3$,
• Вторая и третья: $(1 - P_1) \cdot P_2 \cdot P_3$.

Суммируем:

4. $P(X = 3)$: Все задачи решены:

Итоговый закон распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

где $E(X^2) = \sum_{k=0}^3 k^2 \cdot P(X = k)$: