Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 8. Узнай, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшем.

Ответ:
Разность прогрессии: d=
В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
a1= - d
f(d)= + d+ d2

Решение:

Дано, что сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 8:

Также требуется найти такое значение разности $d$, при котором произведение третьего и пятого членов прогрессии будет минимальным.

1. Общая формула для членов арифметической прогрессии:

Каждый член прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$:

Соответственно:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$,
• Четвёртый член: $a_4 = a_1 + 3d$.

Подставим $a_2$ и $a_4$ в первое уравнение:

Раскроем скобки и упростим:

Разделим обе части уравнения на 2:

Выразим $a_1$ через $d$:

2. Произведение третьего и пятого членов:

Теперь выразим третий ($a_3$) и пятый ($a_5$) члены через $a_1$ и $d$:

• Третий член: $a_3 = a_1 + 2d$,
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$.

Их произведение:

Подставим выражение для $a_1$ ($a_1 = \frac{4 - 6d}{3}$):

Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:

3. Найдём минимум произведения:

Поскольку в задаче разность $d$ должна быть подобрана так, чтобы $P$ минимизировалось, нужно исследовать выражение $f(d) = \frac{16 + 24d}{9}$.

Запишем $f(d)$