Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, знаменатель прогрессии равен двум. Найдите b₁ и сумму членов прогрессии с четвертого по восьмой включительно.

Для решения задачи начнем с того, что геометрическая прогрессия определяется следующим образом: каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на постоянный знаменатель $q$. Пусть первый член прогрессии равен $b_1$, второй — $b_2 = b_1 \cdot q$, третий — $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Из условия задачи известно, что сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, то есть:

Значение знаменателя прогрессии $q = 2$, подставляем это в уравнение:

Упростим уравнение:

Теперь найдем $b_1$:

Таким образом, первый член прогрессии $b_1 = 2$.

Теперь нужно найти сумму членов прогрессии с четвертого по восьмой включительно. Каждый из этих членов можно выразить через первый член прогрессии:

Подставим $b_1 = 2$ и $q = 2$:

Теперь найдем сумму этих членов:

Ответ: $b_1 = 2$, а сумма членов прогрессии с четвертого по восьмой включительно равна 496.