1) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой, одиннадцатый члены этой прогрессии различны и являются соответственно первым, вторым, десятым членами арифметической прогрессии. Найдите первый член геометрической прогрессии. 2) В арифметической прогрессии (aₙ): a₁ = 35.8, a₂ = 35.5. Найдите наибольшее значение суммы первых n членов прогрессии. 3) Все члены геометрической прогрессии различны. Между её вторым и третьим членами можно вставить число z, такое что b₁, b₂, z, b₃ будут являться последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) Геометрическая прогрессия: $S_5=62$. Условия про 5-й, 8-й, 11-й члены и арифметическую прогрессию

Пусть геометрическая прогрессия $(a_n)$ имеет первый член $a_1=a$ и знаменатель $q$. Тогда

По условию числа $a_5,\ a_8,\ a_{11}$ различны и являются соответственно 1-м, 2-м и 10-м членами некоторой арифметической прогрессии $(A_k)$:

В арифметической прогрессии разность

Тогда

Но $A_{10}=aq^{10}$. Приравниваем:

Сокращаем на $aq^4$ (это возможно, так как члены различны $\Rightarrow a\neq 0$ и $q\neq 0$):

Обозначим $t=q^3$. Тогда $q^6=t^2$, и получаем квадратное уравнение:

Значит, $t=1$ или $t=8$.

• $t=1 \Rightarrow q^3=1 \Rightarrow q=1$. Тогда все члены геометрической прогрессии равны, и $a_5=a_8=a_{11}$, что противоречит условию «различны».

• Поэтому $t=8 \Rightarrow q^3=8 \Rightarrow q=2$.

Теперь используем сумму первых пяти членов: