Построить гиперболу и найти все её характеристики, если гипербола сопряжена, действительная полуось

Ответы на вопрос

Отвечает Лоскутов Александр.

Дана сопряжённая гипербола, у которой действительная полуось равна $b=2$ , а мнимая полуось равна $a=3$ .

Так как гипербола сопряжённая, её действительная ось направлена по оси $Oy$ , поэтому каноническое уравнение имеет вид:

\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1

Подставим $b=2$ , $a=3$ :

\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1

Это и есть уравнение данной гиперболы.

Если привести его к общему виду, умножим обе части на $36$ :

36\left(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}\right)=36

9y^2-4x^2=36

9y^2-4x^2-36=0

То есть правильный общий вид:

9y^2-4x^2-36=0

Запись

9x^2-9y^2+36=0

не соответствует данной гиперболе, потому что там другие коэффициенты и другое расположение осей.

Теперь найдём характеристики гиперболы:

\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1

Центр гиперболы:

O(0;0)

Действительная ось расположена вдоль оси $Oy$ , так как положительный член содержит $y^2$ .

Действительная полуось:

b=2

Мнимая полуось:

a=3

Вершины гиперболы находятся на действительной оси:

B_1(0;2), \qquad B_2(0;-2)

Концы мнимой оси:

A_1(3;0), \qquad A_2(-3;0)

Найдём фокусное расстояние. Для гиперболы:

c^2=a^2+b^2

c^2=3^2+2^2=9+4=13

c=\sqrt{13}

Фокусы лежат на оси $Oy$ :

F_1(0;\sqrt{13}), \qquad F_2(0;-\sqrt{13})

Эксцентриситет:

e=\frac{c}{b}

e=\frac{\sqrt{13}}{2}

Асимптоты для гиперболы

\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1

имеют вид:

y=\pm \frac{b}{a}x

Подставим значения:

y=\pm \frac{2}{3}x

То есть асимптоты:

y=\frac{2}{3}x, \qquad y=-\frac{2}{3}x

Построить гиперболу и найти все её характеристики, если гипербола сопряжена, действительная полуось b=2, мнимая a=3.
сопряжена [tex]\frac{y^2}{4} -\frac{x^2}{9} =1[/tex]

[tex]9x^{2} -9y^{2} +36=0