Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство: \(2 \frac{3}{7} < \frac{x}{7} < \frac{31}{7}\).

Рассмотрим неравенство $2 \frac{3}{7} < \frac{x}{7} < \frac{31}{7}$.

1. Преобразуем смешанное число $2 \frac{3}{7}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на 7 и прибавим числитель дробной части:

   $$2 \frac{3}{7} = \frac{2 \times 7 + 3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7}.$$

   Таким образом, первое неравенство можно переписать как:

   $$\frac{17}{7} < \frac{x}{7}.$$

2. Теперь рассмотрим второе неравенство $\frac{x}{7} < \frac{31}{7}$. Обе части этого неравенства уже выражены в виде дробей с одинаковыми знаменателями.

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим все части неравенства на 7. Получим:

3. Поскольку $x$ — это натуральное число, то оно должно быть целым числом, лежащим между 17 и 31. Таким образом, $x$ может быть любым числом из следующего множества:

Ответ: натуральные значения $x$, при которых верно данное неравенство, это $x = 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30$.