1) Из двух городов, расстояние между которыми равно 490 км, выехали навстречу друг другу 2 поезда и встретились через 3,5 ч после выхода второго поезда. С какой скоростью они шли, если 1-ый поезд, скорость которого на 12 км/ч меньше скорости второго, вышел на час раньше второго?
2) Из двух городов, расстояние между которыми 490 км, выехали одновременно в одном направлении два поезда. Первый поезд догнал второй через 10 ч после выхода. С какой скоростью они шли, если скорость первого в 1,7 раза больше скорости второго?

Задача 1:

Из двух городов, расстояние между которыми 490 км, выехали навстречу друг другу два поезда. Вопрос: с какой скоростью шли поезда, если первый поезд вышел на 1 час раньше, и скорость первого поезда на 12 км/ч меньше скорости второго, а встреча произошла через 3,5 часа после того, как выехал второй поезд.

Решение:

1. Обозначим скорость первого поезда за $v_1$ км/ч, а скорость второго поезда за $v_2$ км/ч. Из условия задачи известно, что $v_1 = v_2 - 12$ км/ч.
2. Пусть время, которое первый поезд двигался до встречи, равно $t_1$ (в часах), а время, которое второй поезд двигался до встречи, равно $t_2 = 3,5$ ч (по условию задачи).
3. Первый поезд выехал на час раньше, то есть время его движения до встречи на 1 час больше, чем время движения второго поезда, следовательно, $t_1 = t_2 + 1 = 3,5 + 1 = 4,5$ ч.
4. Известно, что общее расстояние между городами — 490 км. За время, пока поезда двигались навстречу друг другу, они покрыли это расстояние. Расстояние, которое прошел первый поезд, равно $v_1 \times t_1$, а расстояние, которое прошел второй поезд, равно $v_2 \times t_2$. Таким образом, имеем уравнение: $$v_1 \times t_1 + v_2 \times t_2 = 490.$$ Подставим значения: $$(v_2 - 12) \times 4,5 + v_2 \times 3,5 = 490.$$
5. Раскроем скобки: $$(v_2 - 12) \times 4,5 = 4,5v_2 - 54,$$ $$v_2 \times 3,5 = 3,5v_2.$$ Подставим это в уравнение: $$4,5v_2 - 54 + 3,5v_2 = 490.$$
6. Упростим: $$8v_2 - 54 = 490.$$
7. Переносим 54 на правую сторону: $$8v_2 = 490 + 54 = 544.$$
8. Разделим на 8: $$v_2 = \frac{544}{8} = 68 \text{ км/ч}.$$
9. Тогда скорость первого поезда: $$v_1 = v_2 - 12 = 68 - 12 = 56 \text{ км/ч}.$$

Ответ: скорости поездов — 56 км/ч и 68 км/ч.

Задача 2:

Из двух городов, расстояние между которыми 490 км, выехали одновременно два поезда в одном направлении. Первый поезд догнал второй через 10 часов. Вопрос: с какой скоростью шли поезда, если скорость первого поезда в 1,7 раза больше скорости второго?

Решение:

1. Обозначим скорость первого поезда за $v_1$ км/ч, а скорость второго поезда за $v_2$ км/ч. Из условия задачи известно, что $v_1 = 1,7 \times v_2$.
2. Первый поезд догнал второй через 10 часов. Это значит, что за 10 часов первый поезд прошел расстояние, которое второй поезд прошел за те же 10 часов плюс расстояние между ними на момент начала движения.
3. Разница в расстоянии между поездами после 10 часов составит 490 км. То есть, расстояние, которое прошел первый поезд за 10 часов, будет равно расстоянию, которое прошел второй поезд, плюс 490 км. Это можно записать как: $$v_1 \times 10 = v_2 \times 10 + 490.$$
4. Подставим $v_1 = 1,7 \times v_2$: $$1,7v_2 \times 10 = v_2 \times 10 + 490.$$
5. Упростим: $$17v_2 = 10v_2 + 490.$$
6. Переносим $10v_2$ на левую сторону: $$7v_2 = 490.$$
7. Разделим на 7: $$v_2 = \frac{490}{7} = 70 \text{ км/ч}.$$
8. Тогда скорость первого поезда: $$v_1 = 1,7 \times 70 = 119 \text{ км/ч}.$$