n^n/(n+1)! Исследовать на сходимость ряда.

Рассмотрим ряд

Обозначим общий член ряда:

Так как все члены положительные, удобно применить признак Даламбера:

Найдём отношение соседних членов:

Тогда

Так как

получаем:

Преобразуем:

Теперь переходим к пределу:

а также известный предел:

Следовательно,

Так как

то по признаку Даламбера ряд расходится.

Более того, из того, что отношение соседних членов при больших $n$ больше единицы, следует, что члены ряда не стремятся к нулю, а начинают расти. Поэтому необходимое условие сходимости ряда также нарушается:

Итак,