Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101

Ищем наименьшее число с суммой цифр 101.
Максимальная сумма цифр у числа из $k$ знаков равна $9k$. Нужно минимальное $k$, при котором $9k \ge 101$. Это $k=12$, потому что $9\cdot 11=99<101$ и $9\cdot 12=108\ge101$. Значит, число должно быть двенадцатизначным (меньше не хватит суммы).

Чтобы при фиксированном количестве знаков получить наименьшее по величине число, делаем левую (старшую) цифру как можно меньшей, а недостающую сумму «сдвигаем» вправо в менее значащие разряды. Пусть первая цифра равна

а остальные $11$ цифр — девятки (так сумма правых разрядов будет $99$).

Получаем число:

Проверка: сумма цифр $2+11\cdot 9=2+99=101$. Число короче быть не может, а при 12 знаках это наименьшая возможная запись (минимальная старшая цифра и все «большие» цифры — справа).

Ответ: $299999999999$.