Сколько существует различных четырёхзначных чисел, кратных четырём и состоящих только из цифр 1, 2, 3, 4?

Четырёхзначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда его последние две цифры образуют число, кратное 4.

Разрешённые цифры: {1, 2, 3, 4}. Нужно сначала найти, какими могут быть последние две цифры (десятки и единицы), а затем посчитать варианты первых двух цифр.

1. Найдём подходящие последние две цифры

Пусть число имеет вид ABCD, где C — десятки, D — единицы.

Проверим все пары (C, D), где C и D ∈ {1,2,3,4}, и выберем те, для которых число 10C + D делится на 4.

Удобно использовать остатки по модулю 4:

• 10 ≡ 2 (mod 4), значит 10C + D ≡ 2C + D (mod 4)

Теперь перебираем:

• C=1 → 2·1=2 → нужно D ≡ 2 → D=2 → подходит (12)

• C=2 → 2·2=0 → нужно D ≡ 0 → D=4 → подходит (24)

• C=3 → 2·3=6≡2 → D=2 → подходит (32)

• C=4 → 2·4=8≡0 → D=4 → подходит (44)

Итого подходящие окончания:
12, 24, 32, 44 — всего 4 варианта.

2. Выбираем первые две цифры

Первые две цифры A и B могут быть любыми из {1,2,3,4}, ограничений нет.

Значит:

• A — 4 варианта

• B — 4 варианта

Всего: 4 · 4 = 16 вариантов.

3. Общее количество

Общее число четырёхзначных чисел:
4 (окончания) × 16 (начала) = 64

Ответ: 64