19. Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140. а) Существуют ли десять последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть два очень счастливых? б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2015? в) Найдите наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

а) Да, существуют. Например, в отрезке из десяти подряд идущих чисел 1423–1432 очень счастливыми являются 1423 и 1432: во-первых, все цифры различны; во-вторых, 1+4=2+3=5. Эти два числа отличаются на 9, поэтому оба попадают в любую десятку, начинающуюся с 1423 и заканчивающуюся 1432.

б) Нет, не может. Покажу по разбору переносов при прибавлении 2015=2000+15.
Пусть $n=\overline{abcd}$ — очень счастливое (значит, $a+b=c+d$), а $m=n+2015$ тоже очень счастливое.

Изменение суммы первых двух цифр при переходе $n\mapsto m$.
К тысячам прибавляется 2 и, возможно, ещё 1 при переполнении сотен; к сотням прибавляется перенос $t_2\in\{0,1\}$ из десятков, а при переполнении сотен происходит «минус 10» в сотнях и «плюс 1» в тысячах. В итоге возможные приращения суммы $a+b$ только такие:

Изменение суммы последних двух цифр при прибавлении 15.
Единицы: $+5$ без переноса даёт вклад $+5$, с переносом — $-5$ и перенос $t_1=1$ в десятки. Десятки: $+1+t_1$ без переполнения даёт $+1$ или $+2$, с переполнением — «минус 9» или «минус 8». В сумме возможные приращения $c+d$ ровно такие:

Но у очень счастливых чисел должно выполняться $(a'+b')-(a+b)=(c'+d')-(c+d)$, то есть $\Delta_1=\Delta_2$. Сравнивая множества $\{2,3,-6\}$ и $\{6,-4,-3,-13\}$, видим, что совпадений нет. Противоречие. Следовательно, разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел не может быть равна 2015.

в) Ответ: 11.
Докажем, что ни одно очень счастливое четырёхзначное число не делится на 11. Для числа $\overline{abcd}$ остаток по модулю 11 равен

Так как $a+b=c+d$, получаем

Значит, $\overline{abcd}\equiv 2(b-c)\pmod{11}$. Для делимости на 11 нужно $2(b-c)\equiv0\pmod{11}$, то есть $b\equiv c\pmod{11}$. Но цифры различны, а $0\le b,c\le 9$, следовательно, $b\ne c$ и делимости на 11 быть не может. Значит, 11 — подходящее число.

Остаётся убедиться, что для каждого $k<11$ кратное найти можно. Примеры очень счастливых чисел, кратных $k$:

• $k=1:\ 1203$;

• $k=2:\ 1230$;

• $k=3:\ 1203$;

• $k=4:\ 1304$;

• $k=5:\ 1230$;

• $k=6:\ 1230$;

• $k=7:\ 1652$;

• $k=8:\ 1304$;

• $k=9:\ 1809$;

• $k=10:\ 1230$.

Итак, наименьшее натуральное число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа, — это 11.