Монеты бывают номиналов 50 копеек, 1 рубль, 2 рубля, 5 рублей, 10 рублей. В кошельке лежит несколько монет. Известно, что какие бы 26 монет ни вытащить из кошелька, среди них будет хотя бы одна рублевая, хотя бы одна пятирублевая и хотя бы одна десятирублевая. При каком наибольшем количестве монет в кошельке такое возможно?

Обозначим:

• $a$ — количество монет по 1 рублю;

• $b$ — количество монет по 5 рублей;

• $c$ — количество монет по 10 рублей;

• $x$ — количество остальных монет (50 копеек и 2 рубля).

Условие говорит: какие бы 26 монет ни взять, среди них обязательно должны быть монеты всех трех нужных видов: 1 рубль, 5 рублей и 10 рублей.

Рассмотрим, что будет, если попытаться выбрать 26 монет без какого-либо одного вида.

Чтобы нельзя было выбрать 26 монет без рублевых монет, количество всех остальных монет должно быть меньше 26:

Аналогично:

Теперь найдем максимальное возможное число всех монет:

Обозначим

Тогда получаем:

Сложим эти три неравенства:

Значит,

Тогда общее количество монет:

Упростим:

Так как количество монет целое, при $x=0$ получаем максимум:

Осталось проверить, что 37 монет действительно возможно. Возьмем, например:

• 13 монет по 1 рублю;

• 12 монет по 5 рублей;

• 12 монет по 10 рублей.

Всего:

Проверим условия:

То есть без одного из трех номиналов нельзя набрать 26 монет, потому что остальных монет всегда не больше 25.

Следовательно, наибольшее количество монет в кошельке: