У Васи в кармане лежит 16 монет, среди которых есть монеты достоинством 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. При этом общая сумма денег, находящихся в кармане у Васи, составляет 56 рублей. Какое наименьшее число монет достоинством 5 рублей может быть у Васи?

Давайте попробуем решить задачу пошагово.

У Васи есть 16 монет номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей, а их общая сумма составляет 56 рублей. Нам нужно найти наименьшее количество монет достоинством 5 рублей, которое может быть у Васи.

1. Обозначим количество монет каждого номинала:

   • Пусть $x$ — количество монет по 1 рублю,
   • $y$ — количество монет по 2 рубля,
   • $z$ — количество монет по 5 рублей.

2. Запишем систему уравнений на основании условия:

   • Сумма всех монет: $$x + y + z = 16$$
   • Сумма денег: $$x + 2y + 5z = 56$$

3. Наша цель — минимизировать количество монет номиналом 5 рублей, то есть $z$.

4. Попробуем выразить $x$ и $y$ через $z$: Из первого уравнения выражаем $x$:

   $$x = 16 - y - z$$

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$(16 - y - z) + 2y + 5z = 56$$

   Упрощаем:

   $$16 - y - z + 2y + 5z = 56$$ $$16 + y + 4z = 56$$ $$y + 4z = 40$$

   Теперь у нас есть новое уравнение: $y = 40 - 4z$.

5. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:

   $$x + y + z = 16$$ $$x + (40 - 4z) + z = 16$$ $$x + 40 - 3z = 16$$ $$x = 16 - 40 + 3z$$ $$x = 3z - 24$$

6. Анализируем условия: $x$ и $y$ должны быть неотрицательными целыми числами.

   • Из $x = 3z - 24$ видно, что $x \geq 0$, следовательно, $3z \geq 24$, то есть $z \geq 8$.
   • Из $y = 40 - 4z$ следует, что $y \geq 0$, следовательно, $40 - 4z \geq 0$, то есть $z \leq 10$.

Таким образом, $z$ может принимать значения от 8 до 10.

7. Наименьшее значение $z$ — это 8.

Проверим это значение:

• Если $z = 8$, то: $$y = 40 - 4 \times 8 = 40 - 32 = 8$$ $$x = 3 \times 8 - 24 = 24 - 24 = 0$$
• Проверим общую сумму: $$x + y + z = 0 + 8 + 8 = 16$$ $$1 \times 0 + 2 \times 8 + 5 \times 8 = 0 + 16 + 40 = 56$$

Всё верно.

Ответ: наименьшее количество монет номиналом 5 рублей — 8 штук.