Постройте сечение четырёхугольной пирамиды PABCD плоскостью DBK и найдите его периметр, если известно, что каждое ребро равно 6 см, а точка K является серединой ребра PC.

Так как все рёбра пирамиды равны 6 см, основание (ABCD) является ромбом. Вершина (P) равноудалена от всех вершин основания, поэтому основание можно вписать в окружность. Ромб, вписанный в окружность, является квадратом. Следовательно, (ABCD) — квадрат со стороной 6 см.

Плоскость сечения проходит через точки (D), (B) и (K).

• В грани (PBC) она пересекает пирамиду по отрезку (BK).

• В грани (PCD) — по отрезку (DK).

• В основании (ABCD) — по диагонали (BD).

Таким образом, искомое сечение — треугольник (BDK). Для его построения достаточно соединить точку (K) с вершинами (B) и (D), а затем провести диагональ (BD).

Найдём длины его сторон.

Диагональ квадрата (ABCD):

[
BD=\sqrt{AB^2+AD^2}
=\sqrt{6^2+6^2}
=6\sqrt2\text{ см}.
]

Грань (PBC) — равносторонний треугольник со стороной 6 см. Точка (K) является серединой стороны (PC), поэтому (BK) — медиана и высота равностороннего треугольника:

[
BK=\sqrt{BC^2-KC^2}
=\sqrt{6^2-3^2}
=\sqrt{27}
=3\sqrt3\text{ см}.
]

Аналогично грань (PCD) также является равносторонним треугольником, поэтому

[
DK=3\sqrt3\text{ см}.
]

Периметр сечения:

[
P_{BDK}=BD+BK+DK
=6\sqrt2+3\sqrt3+3\sqrt3
=6\sqrt2+6\sqrt3.
]

Следовательно,

[
\boxed{P_{BDK}=6(\sqrt2+\sqrt3)\text{ см}}.
]