Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с основанием угол в 60 градусов. Какова площадь основания пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см?

Для нахождения площади основания правильной четырехугольной пирамиды, где боковое ребро равно 10 см, а угол между боковым ребром и основанием пирамиды составляет 60 градусов, можно использовать геометрические и тригонометрические рассуждения.

Шаг 1: Анализ геометрической ситуации

Пирамида правильная, то есть ее основание — квадрат, а боковые ребра одинаковы. Также известно, что угол между боковым ребром и основанием равен 60 градусов. Мы должны найти площадь основания пирамиды, то есть площадь квадрата.

Шаг 2: Рассмотрим боковое ребро

Обозначим:

• $h$ — высоту пирамиды (перпендикуляр от вершины пирамиды до центра основания).

• $a$ — длину стороны основания (стороны квадрата).

Угол между боковым ребром и основанием равен 60 градусов. Если провести перпендикуляр от вершины пирамиды к основанию, то это будет высота пирамиды $h$. Также, боковое ребро пирамиды будет гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна из сторон — это высота пирамиды $h$, а другая — половина длины стороны квадрата $\frac{a}{2}$.

Шаг 3: Используем тригонометрию

В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковое ребро пирамиды, а угол между гипотенузой и основанием 60 градусов, мы можем воспользоваться косинусом угла для нахождения половины стороны квадрата $\frac{a}{2}$.

Из тригонометрии:

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

отсюда:

или

Шаг 4: Находим площадь основания

Теперь, зная длину стороны квадрата $a = 10$, можем найти площадь основания пирамиды, которая равна квадрату длины стороны:

Ответ: Площадь основания пирамиды составляет 100 см².