Найти центр тяжести плоской однородной фигуры, ограниченной кривыми.
Сделать чертёж.
x²/16 + y²/9 = 1
x ≥ 0
y ≥ 0

Дана однородная плоская фигура в первой четверти, ограниченная дугой эллипса

и осями координат $Ox$ и $Oy$.

Полуоси эллипса:

Чертёж

                y
                ↑
            3   ● (0;3)
                │╲
                │ ╲
                │  ╲
                │   ╲       x²/16 + y²/9 = 1
                │    ╲
                │  C ●╲
                │       ╲
                │        ╲
                ●─────────●────────→ x
              (0;0)       4
             C — центр тяжести фигуры

Фигура представляет собой четверть эллипса.

Из уравнения эллипса выразим $y$:

1. Площадь фигуры

Площадь всего эллипса равна

Рассматриваемая фигура составляет четверть эллипса, поэтому

2. Координата центра тяжести $\bar{x}$

Для области, расположенной под графиком $y=f(x)$,

Следовательно,

Вычислим интеграл. Сделаем замену:

При $x=0$: $u=1$, при $x=4$: $u=0$. Тогда

Поэтому

Приближённо:

3. Координата центра тяжести $\bar{y}$

Статический момент области относительно оси $Ox$:

Поэтому