Найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 4x \) и \( y = 0 \). Сделать чертёж.

Даны линии:

и

Линия $y=0$ — это ось $Ox$. Значит, нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью $Ox$.

Сначала найдём точки пересечения параболы с осью $Ox$. Для этого приравняем $y$ к нулю:

Вынесем $x$ за скобку:

Отсюда:

или

Значит, фигура ограничена на отрезке от $x=0$ до $x=4$.

Парабола

направлена ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Между корнями $0$ и $4$ она расположена ниже оси $Ox$, потому что, например, при $x=2$:

То есть площадь нужно считать как разность верхней функции и нижней:

Вычислим интеграл:

Подставим пределы:

Ответ:

Чертёж:

Схематично фигура выглядит так:

        y
        ↑
        |
        |
--------●----------------●------→ x
       0                4
        \              /
         \            /
          \          /
           \        /
            \      /
             \    /
              \  /
               ●
              (2,-4)

Закрашиваемая область находится между осью $Ox$ и параболой на отрезке $[0;4]$. Парабола ниже оси, поэтому при вычислении площади берётся выражение $0-(x^2-4x)$.