Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Выполните чертёж:


у = x^2, у = 0, х = 2, х = 0

Фигура ограничена линиями \( y=x^2 \), \( y=0 \), \( x=0 \), \( x=2 \). Это область под параболой \( y=x^2 \) от \( x=0 \) до \( x=2 \).

При вращении вокруг оси \( Ox \) используем метод дисков:

\[ V=\pi\int_0^2 y^2\,dx \]

Так как \( y=x^2 \), получаем:

\[ V=\pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx=\pi\int_0^2 x^4\,dx \]

\[ V=\pi\left.\frac{x^5}{5}\right|_0^2=\pi\cdot\frac{32}{5}=\frac{32\pi}{5} \]

Ответ: \( V=\frac{32\pi}{5} \).

0 0 Пожаловаться