1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4. 2. Вычислите площадь фигуры,

Ответы на вопрос

Отвечает Бимолдинова Амина.

Для нахождения площади между кривыми нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем y = x² и y = 4:

x² = 4

Решим это уравнение:

x = \pm 2

Таким образом, точки пересечения — это $x = -2$ и $x = 2$ .

Шаг 2: Найдем площадь между кривыми на интервале от -2 до 2. Площадь можно найти, вычислив определенный интеграл разности между верхней и нижней кривыми. В данном случае верхняя кривая — это y = 4, а нижняя — y = x².

Площадь будет вычисляться по формуле:

S = \int_{-2}^{2} (4 - x²) \, dx

S = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x² \, dx

Решение каждого из интегралов:

\int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4(x) \Big|_{-2}^{2} = 4(2) - 4(-2) = 16

\int_{-2}^{2} x² \, dx = \frac{x³}{3} \Big|_{-2}^{2} = \frac{2³}{3} - \frac{(-2)³}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

Теперь вычислим площадь:

S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4, равна $\frac{32}{3}$ квадратных единиц.

Для этой задачи также нужно найти точки пересечения кривых и затем вычислить площадь.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых, приравняв y = x² - 6x + 7 и y = -x² + 4x - 1:

x² - 6x + 7 = -x² + 4x - 1

Приводим все к одному виду:

2x² - 10x + 8 = 0

Делим на 2:

x² - 5x + 4 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)² - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Таким образом, $x = 4$ или $x = 1$ .

Шаг 2: Теперь, когда мы знаем, что точки пересечения — это $x = 1$ и $x = 4$ , вычислим площадь. Площадь между кривыми будет определяться интегралом разности между верхней и нижней кривой. В данном случае верхняя кривая — это y = x² - 6x + 7, а нижняя — y = -x² + 4x - 1.

Площадь вычисляется по формуле:

S = \int_{1}^{4} \left[(x² - 6x + 7) - (-x² + 4x - 1)\right] dx

Упростим выражение под интегралом:

S = \int_{1}^{4} (x² - 6x + 7 + x² - 4x + 1) dx = \int_{1}^{4} (2x² - 10x + 8) dx

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 4. 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 6x + 7 и y = -x² + 4x - 1.