На доске сначала было написано число 198.Стас играет в арифметическую игру.Он может либо умножить написанное число на 3, либо вычесть из него 7. Полученное число Стас записывает на доске вместо прежнего.Может ли Стас, действуя таким образом, в конце концов получить на доске число 200?Если да- покажите,как.Если нет-объясните , почему.

Чтобы решить эту задачу, нужно внимательно рассмотреть правила игры и понять, можно ли получить число 200, начиная с 198, с помощью доступных операций: умножение числа на 3 или вычитание 7.

1. Наблюдение за возможными остатками

Начнем с того, что посмотрим на остатки чисел при делении на 3. Это важный шаг, так как одна из операций — умножение на 3 — влияет на кратность числа относительно 3. Мы можем разбить все числа на три группы по их остаткам при делении на 3:

• Остаток 0: числа, кратные 3 (например, 0, 3, 6, 9 и т.д.).
• Остаток 1: числа, дающие при делении на 3 остаток 1 (например, 1, 4, 7, 10 и т.д.).
• Остаток 2: числа, дающие остаток 2 (например, 2, 5, 8, 11 и т.д.).

Теперь посмотрим, с чего мы начинаем. Число 198 при делении на 3 дает остаток 0, так как 198 кратно 3 (198 / 3 = 66).

2. Как работают операции на остаток при делении на 3?

• Умножение числа на 3 сохраняет остаток 0, так как любое число, кратное 3, после умножения на 3 останется кратным 3 (если остаток был 0, то и после умножения он останется 0).

• Вычитание 7 уменьшает остаток на 1 (если из числа, кратного 3, вычесть 7, то остаток будет 2, потому что $0 - 7 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 3)$).

3. Проверим число 200

Теперь посмотрим на число 200. Если разделить его на 3, то получим остаток 2 (200 / 3 = 66, остаток 2). Чтобы достичь 200, нам нужно, чтобы на каком-то этапе мы получили на доске число с остатком 2 при делении на 3. Однако, как мы выяснили, если начинать с числа 198, то оно имеет остаток 0, и при умножении на 3 остаток всегда будет 0. Единственная операция, которая может изменить остаток, — это вычитание 7.

4. Можно ли из остатка 0 получить остаток 2?

Давайте посмотрим, что происходит при вычитании 7:

• 198 (остаток 0) - 7 = 191 (остаток 2).

Мы получили число с остатком 2. Это значит, что мы приближаемся к 200, так как оно тоже имеет остаток 2. Теперь посмотрим, сможем ли мы достичь 200 с помощью доступных операций.

5. Можно ли из 191 получить 200?

Теперь нужно выяснить, можно ли, начиная с 191 (остаток 2), получить 200. Здесь мы сталкиваемся с проблемой: единственная операция, которая увеличивает число, — это умножение на 3. Но если мы умножим 191 на 3, то получим слишком большое число: $191 \times 3 = 573$.

Операция вычитания 7 будет только уменьшать число, а умножение приведет к тому, что мы сильно превысим 200. Таким образом, достичь ровно 200 не удастся.

6. Вывод

Получить на доске число 200 из 198 с помощью данных операций невозможно. Главная причина — остатки при делении на 3: начав с числа 198 (которое кратно 3), мы не можем, используя доступные операции, точно попасть в число 200, которое имеет остаток 2 при делении на 3.