Какая функция называется показательной? Назовите свойства показательной функции.

Показательной функцией называется функция вида:

где a — постоянное число (основание степени), причём:

а x — переменная. То есть переменная находится в показателе степени, поэтому функция называется показательной.

Свойства показательной функции:

1. Область определения

   Показательная функция определена при любых значениях $x$:

2. Множество значений

   Значения показательной функции всегда положительные:

То есть график функции никогда не пересекает ось $Ox$.

3. Знак функции

при любом значении $x$.

4. Точка пересечения с осью $Oy$

При $x=0$:

Поэтому график любой показательной функции проходит через точку:

5. Монотонность функции

• Если $a>1$, то функция возрастает: при увеличении $x$ значение $y$ увеличивается.

• Если $0<a<1$, то функция убывает: при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается.

6. Непрерывность

Показательная функция является непрерывной на всей области определения, то есть её график можно построить без отрыва карандаша.

7. Ограниченность

• Снизу функция ограничена числом 0, так как её значения не могут быть отрицательными или равными нулю.

• Сверху она не ограничена, если $a>1$.

8. Асимптота

Ось $Ox$ (линия $y=0$) является горизонтальной асимптотой графика показательной функции.

Таким образом, главные признаки показательной функции: переменная находится в показателе степени, основание степени положительно и не равно единице, а значения функции всегда положительны.