arccos и решение уравнения cos t = a

arccos и решение уравнения $\cos t=a$

Функция arccos (арккосинус) является обратной к функции косинуса на специально выбранном промежутке.

Запись:

означает: найти такой угол $t$, косинус которого равен $a$.

То есть:

но только если мы рассматриваем главное значение арккосинуса.

1. Что такое $\arccos a$

Функция косинуса на всей числовой прямой не является обратимой, потому что принимает одни и те же значения много раз:

Поэтому для определения обратной функции выбирают промежуток, где косинус строго убывает:

На этом промежутке каждое значение косинуса встречается только один раз.

Поэтому:

и область определения функции:

Если $a$ не входит в этот промежуток, то выражение $\arccos a$ в действительных числах не существует.

Например:

так как:

так как:

так как:

2. Решение уравнения $\cos t=a$

Нужно найти все значения $t$, при которых косинус равен числу $a$.

Сначала находим главное значение:

где:

Но косинус имеет период $2\pi$, а также:

Поэтому кроме угла $\alpha$ подходит угол $-\alpha$.

Все решения:

где $k$ — любое целое число.

3. Примеры

Пример 1

Решить:

Находим:

Следовательно:

Ответ:

Пример 2

Решить:

Главный угол:

Поэтому:

Пример 3

Решить:

Так как значения косинуса находятся только в пределах:

число $2$ недопустимо.

Ответ:

4. Частные случаи

Если:

то:

Если:

то:

Если:

то:

Таким образом, главное значение находится через $\arccos$, а полное решение уравнения:

имеет вид:

при условии: