1)arcsin корень из 2/2 2)π/3 arccos корнь из 3/2 3)arccos(-корень из 3/2) 4)sin(arcsin 2/3) 5)cos(arccos 3/4)

Рассмотрим каждый пункт подробно.

1) arcsin(√2 / 2)

Функция arcsin (или sin⁻¹) возвращает угол, синус которого равен заданному значению. Значение √2 / 2 ≈ 0.707. Это известное значение синуса угла π/4 (или 45°), так как:

sin(π/4) = √2 / 2

Следовательно:

arcsin(√2 / 2) = π/4

2) π/3 · arccos(√3 / 2)

Сначала найдём значение arccos(√3 / 2).

Арккосинус — это угол, косинус которого равен √3 / 2. Это стандартное значение для угла π/6 (или 30°), так как:

cos(π/6) = √3 / 2

Поэтому:

arccos(√3 / 2) = π/6

Теперь подставим в выражение:

π/3 · arccos(√3 / 2) = π/3 · π/6 = π² / 18

3) arccos(−√3 / 2)

Рассмотрим, для какого угла косинус равен −√3 / 2. Это происходит, например, при угле 5π/6, так как:

cos(5π/6) = −√3 / 2

Область значений функции arccos — [0, π], и 5π/6 входит в этот диапазон.

Поэтому:

arccos(−√3 / 2) = 5π/6

4) sin(arcsin(2 / 3))

Здесь синус и арксинус "взаимно уничтожаются", так как значение 2/3 находится в допустимом диапазоне [−1, 1]. То есть:

sin(arcsin(x)) = x, если x ∈ [−1, 1]

Следовательно:

sin(arcsin(2 / 3)) = 2 / 3

5) cos(arccos(3 / 4))

Аналогично предыдущему, косинус и арккосинус "обратны" друг другу в допустимом диапазоне [−1, 1]. Поэтому:

cos(arccos(3 / 4)) = 3 / 4

Итоги:

1. π/4

2. π² / 18

3. 5π/6

4. 2 / 3

5. 3 / 4