В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 6 см. Вычислить площадь полной поверхности и объем пирамиды. Округлить только конечные результаты.

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида, у которой все рёбра равны 6 см.

Найти:

1. Площадь полной поверхности $S_{\text{полн}}$.

2. Объём пирамиды $V$.

1. Вычислим площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной $a=6$ см.

Площадь основания:

Так как все рёбра пирамиды равны 6 см, каждая боковая грань представляет собой равносторонний треугольник со стороной 6 см.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

Подставим значение:

У пирамиды четыре боковые грани, следовательно:

Теперь найдём площадь полной поверхности:

2. Вычислим объём пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

где $h$ — высота пирамиды.

Найдём высоту.

Обозначим вершину пирамиды через $S$, центр основания через $O$, а одну из вершин основания через $A$.

Треугольник $SOA$ — прямоугольный, поскольку высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.

Известно:

Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата.

Диагональ основания:

Тогда:

По теореме Пифагора: