В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S медиана SK боковой грани SAB равна 5. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если сторона основания равна 2.

Давай разберём задачу шаг за шагом, аккуратно.

У нас есть правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с квадратным основанием $ABCD$ и стороной основания $a = 2$. Нам известно, что медиана $SK$ боковой грани $SAB$ равна 5. Нужно найти площадь полной поверхности пирамиды.

Шаг 1: Понимание медианы боковой грани

Боковая грань $SAB$ — это треугольник $SAB$. Медиана $SK$ проведена из вершины $S$ к середине стороны $AB$. Пусть $K$ — середина $AB$, тогда $SK$ — медиана треугольника $SAB$.

Для треугольника медиана из вершины $S$ к стороне $AB$ имеет формулу:

Поскольку пирамида правильная, боковые рёбра все равны: $SA = SB = SC = SD = l$, а сторона основания $AB = 2$. Подставим в формулу:

Нам известно, что $SK = 5$, значит:

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание со стороной $a = 2$. Центр основания $O$ находится в пересечении диагоналей. Диагональ квадрата:

Расстояние от центра до вершины основания: $AO = \frac{d}{2} = \sqrt{2}$.

Высота пирамиды $SO = h$ связана с боковым ребром $SA = \sqrt{26}$ и половиной диагонали $AO = \sqrt{2}$ через прямоугольный треугольник $SAO$:

Шаг 3: Найдём площадь боковой грани

Боковая грань — равнобедренный треугольник $SAB$ со стороной $AB = 2$ и боковыми рёбрами $SA = SB = \sqrt{26}$.

Площадь треугольника можно найти через формулу Герона: