В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 24 см и 8 см, а высота 15 см. Найти площадь полной поверхности.

Дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида, то есть усечённая квадратная пирамида.

• сторона большого основания: $a_1 = 24$ см

• сторона малого основания: $a_2 = 8$ см

• высота: $h = 15$ см

Нужно найти площадь полной поверхности:

1) Площади оснований

Основания — квадраты:

2) Боковая поверхность усечённой правильной пирамиды

Боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Для правильной усечённой пирамиды боковая площадь считается по формуле:

где $P_1, P_2$ — периметры оснований, $l$ — апофема усечённой пирамиды (наклонная высота боковой грани).

Периметры квадратов:

Осталось найти $l$. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через ось пирамиды и середины соответствующих сторон оснований. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, где:

• вертикальный катет — высота усечённой пирамиды $h = 15$,

• горизонтальный катет — разность “полуполуразмеров” оснований:

Тогда апофема:

Теперь боковая площадь:

3) Полная площадь поверхности

Ответ: $1728\ \text{см}^2$.