1)Найдите все значения параметра b, для каждого из которых неравенство выполняется при любых действительных значениях x
(b+2)x^2 - (2b+4)x +7b +3 < 0

2) Упростите выражение:
(1+ ctg2x ctg x) / (tg x + ctg x)

про параметр можете объяснить подробнее, пожалуйста, я никогда не решала их, поэтому даже не знаю как

Разберём оба задания подробно, особенно первое, с параметром. На самом деле задачи с параметрами не такие страшные, как кажутся. Главное — понять, чем параметр отличается от переменной и что именно от нас требуется.

№ 1. Неравенство с параметром

Условие:

Найдите все значения параметра $b$, при каждом из которых неравенство

выполняется при любых действительных значениях $x$.

Шаг 1. Что такое параметр?

В нашем неравенстве есть две буквы: $x$ и $b$.

• $x$ — переменная, которая может принимать любые действительные значения.

• $b$ — параметр, то есть некоторое число, значение которого нам нужно найти.

Например, если $b=1$, то наше неравенство превратится в:

Если $b=-3$, получим:

Видите? При разных значениях $b$ получаются разные неравенства.

Наша задача — найти такие значения $b$, чтобы неравенство было верным при любом $x$: при $x=0$, $x=1$, $x=-100$ и вообще при всех действительных числах.

Шаг 2. Вспоминаем свойства параболы

Наше неравенство похоже на квадратное:

Чтобы квадратный трёхчлен был строго отрицательным при любом $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. $a<0$ — ветви параболы направлены вниз.

2. $D<0$ — парабола не пересекает ось $Ox$.

Пример параболы, у которой все значения функции отрицательные.

Почему это работает? Если ветви направлены вниз, а пересечений с осью $Ox$ нет, то вся парабола расположена ниже оси. Значит, выражение всегда отрицательное.

Но есть важный момент: если коэффициент при $x^2$ равен нулю, выражение уже не квадратное. Такой случай нужно проверить отдельно.

Шаг 3. Находим коэффициенты

Возьмём исходное неравенство:

Здесь:

Сначала требуем, чтобы ветви параболы были направлены вниз:

Это первое условие.

Шаг 4. Находим дискриминант

Формула дискриминанта:

Подставляем наши коэффициенты:

Раскрываем скобки:

Заметим, что $2b+4=2(b+2)$. Поэтому можно вынести общий множитель: