Дана функция распределения непрерывной случайной величины X. Найдите плотность распределения f(x).

Чтобы найти плотность распределения $f(x)$ непрерывной случайной величины $X$, необходимо взять производную от её функции распределения $F(x)$.

По определению функция распределения имеет вид:

Если случайная величина обладает плотностью распределения, то

Следовательно, плотность распределения находится по формуле:

Порядок решения

1. Записываем заданную функцию распределения $F(x)$.

2. Находим производную $F'(x)$ на каждом интервале, где функция задана отдельной формулой.

3. На участках, где $F(x)$ постоянна, плотность равна нулю.

4. Записываем полученную плотность $f(x)$ в виде кусочной функции.

Пример

Пусть функция распределения задана следующим образом:

Найдём производную на каждом промежутке.

При $x<0$:

При $0$:

При $x>1$:

Таким образом, получаем:

Значения плотности в отдельных граничных точках можно выбирать произвольно, поскольку они не влияют на вероятности.

Проверка: интеграл плотности по всей числовой прямой должен быть равен единице:

Следовательно, плотность найдена правильно.

Ответ: в общем случае

Для получения конкретной плотности необходимо знать заданное выражение функции распределения $F(x)$, которое в условии вопроса не приведено.