Функция y= -2x в кубе

Функция $y=-2x^3$ — это кубическая функция, графиком которой является кубическая парабола.

Рассмотрим её основные свойства и построение графика.

1. Основные свойства функции

Дана функция:

• Область определения: $D(y)=(-\infty;+\infty)$. Функция определена при любых действительных значениях $x$.

• Область значений: $E(y)=(-\infty;+\infty)$. Функция может принимать любые действительные значения.

• Чётность: функция нечётная, поскольку $f(-x)=-f(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.

• Монотонность: функция строго убывает на всей числовой прямой.

• Нули функции: $x=0$.

• Положительные значения: при $x<0$ значение $y>0$.

• Отрицательные значения: при $x>0$ значение $y<0$.

• Точка пересечения с осями координат: $(0;0)$.

• Максимума и минимума: нет.

2. Таблица значений

Для построения графика подставим несколько значений $x$ в формулу $y=-2x^3$.

3. График функции

График $y=-2x^3$

Чтобы построить график в тетради, необходимо отметить точки $(-2;16)$, $(-1;2)$, $(0;0)$, $(1;-2)$, $(2;-16)$ и соединить их плавной кривой.

График идёт из левой верхней части координатной плоскости в правую нижнюю и проходит через начало координат.

4. Как изменяется функция?

При увеличении $x$ значение $y$ уменьшается:

• Если $x\to+\infty$, то $y\to-\infty$.

• Если $x\to-\infty$, то $y\to+\infty$.

Коэффициент $-2$ показывает, что график функции $y=x^3$ отражён относительно оси $Ox$, а все значения функции увеличены по модулю в 2 раза.

5. Производная функции

Найдём производную:

Поскольку $x^2\geq0$, получаем:

Следовательно, функция убывает на всей области определения. В точке $x=0$ производная равна нулю, но экстремума в этой точке нет.

Вторая производная: