Скорость охлаждения тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды. В данный момент времени температура окружающей среды равна 20 градусам. dT/dt = k(T - 20) — формула, по которой нужно решить задачу. Тело было нагрето до 100 градусов, через 20 минут оно остыло до 80 градусов. Определите, через какое время оно остынет до 20 градусов. Задача связана с дифференциальными уравнениями. Прошу написать решение по пунктам.

Решение задачи с помощью дифференциального уравнения

Дано:

• Начальная температура тела: $T_0=100^\circ C$.

• Температура окружающей среды: $T_{\text{ср}}=20^\circ C$.

• Через 20 минут температура тела стала $80^\circ C$.

• Закон охлаждения Ньютона:

Найти: через какое время температура тела достигнет $20^\circ C$?

Пункт 1. Решим дифференциальное уравнение

Имеем уравнение:

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Перенесём все выражения с температурой $T$ в левую часть, а со временем $t$ — в правую:

Теперь проинтегрируем обе части:

Получаем:

Переходим от логарифма к показательной функции:

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

Пункт 2. Найдём постоянную C

По условию задачи известно, что в начальный момент времени $t=0$ температура тела составляла $100^\circ C$.

Подставим эти значения в полученную формулу:

Поскольку $e^0=1$, получаем:

Следовательно:

Теперь уравнение температуры тела имеет вид:

Пункт 3. Найдём коэффициент охлаждения k

По условию задачи через 20 минут температура тела уменьшилась до $80^\circ C$.

То есть при $t=20$ температура $T=80$.

Подставляем эти значения в формулу:

Вычитаем 20 из обеих частей:

Делим обе части на 80:

Прологарифмируем обе части:

Выражаем $k$:

Так как:

то: