Приведите пример последовательности, множеством частичных пределов которой является отрезок [0, 1]

ДЕТАЛЬНО ОБЪЯСНИТЕ ПОЧЕМУ ЧТО И КАК

Подойдёт такая последовательность:

\[0;\ 0,1;\ 0,\frac12,1;\ 0,\frac13,\frac23,1;\ 0,\frac14,\frac24,\frac34,1;\ \ldots\]

То есть мы подряд выписываем блоки вида

\[0,\frac1n,\frac2n,\ldots,\frac{n-1}{n},1.\]

Почему все частичные пределы лежат в \([0,1]\)? Каждый член последовательности находится между \(0\) и \(1\). Значит, любая сходящаяся подпоследовательность тоже может иметь предел только в этом отрезке.

Почему каждая точка отрезка \([0,1]\) является частичным пределом? Возьмём любое число \(a\) из \([0,1]\). В каждом большом блоке можно выбрать дробь \(\frac{k}{n}\), которая ближе всего к \(a\). Расстояние между соседними дробями в блоке равно \(\frac1n\), а при больших \(n\) это расстояние стремится к нулю.

Значит, можно выбрать подпоследовательность дробей, которая будет всё ближе и ближе к \(a\). Поэтому её предел равен \(a\).

Получается, множество всех частичных пределов этой последовательности — ровно отрезок \([0,1]\).

0 0 Пожаловаться