9. В стране есть несколько городов. Сумасшедший путешественник едет из
города А в самый далёкий от него город B. Затем едет в самый далёкий от B
город C и т.д. Докажите, что если город C не совпадает с городом А, то
путешественник никогда не вернётся обратно в город А.
10. Масошо

Обозначим города, которые посещает путешественник, так: \(A, B, C, \ldots\). Расстояния между соседними городами не убывают: расстояние от \(B\) до \(C\) не меньше расстояния от \(B\) до \(A\), потому что \(C\) — самый далёкий от \(B\) город. Аналогично на каждом следующем шаге новое расстояние не меньше предыдущего.

При этом \(B\) — самый далёкий от \(A\) город. Значит, расстояние от \(A\) до любого другого города не больше расстояния \(AB\).

Предположим, что путешественник когда-нибудь вернулся в \(A\). Тогда на пути обратно расстояние до \(A\) должно быть не меньше \(AB\), а по свойству города \(B\) — не больше \(AB\). Следовательно, все эти расстояния равны \(AB\). Но тогда у города \(B\) города \(A\) и \(C\) были бы одинаково далёкими. Это противоречит условию, что \(C\) — самый далёкий от \(B\) город и \(C\ne A\).

Значит, в \(A\) путешественник не вернётся.

Это доказательство предполагает, что самый далёкий город выбирается однозначно. При равных расстояниях без правила выбора утверждение может быть неверным.

0 0 Пожаловаться