1. Измерения прямоугольного параллелепипеда 4; 6; 12. Найдите радиус описанного шара. Ответ: 7

2. В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, высота которой делится центром шара на две части: 4 и 5. Найдите объём пирамиды. Ответ: 54

3. Найдите площадь сферы, вписанной в равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого a. Ответ: πa²/2

4. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6; 8; 10. Высота призмы 24. Найдите радиус описанного шара. Ответ: 13

Желательно с объяснением. Спасибо заранее.

1. Диагональ параллелепипеда:

\[d=\sqrt{4^2+6^2+12^2}=\sqrt{196}=14.\]

Радиус описанного шара равен половине пространственной диагонали:

\[R=\frac{14}{2}=7.\]

2. Высота пирамиды \(H=4+5=9\). Расстояние от центра шара до основания равно \(4\), а до вершины — \(5\), значит радиус шара \(R=5\). Радиус окружности, описанной около основания:

\[r=\sqrt{5^2-4^2}=3.\]

Основание — квадрат, его площадь:

\[S=2r^2=2\cdot3^2=18.\]

Тогда объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}\cdot18\cdot9=54.\]

3. У равностороннего цилиндра высота равна диаметру: \(h=2r\). Диагональ осевого сечения:

\[a^2=(2r)^2+(2r)^2=8r^2.\]

Площадь вписанной сферы:

\[S=4\pi r^2=4\pi\cdot\frac{a^2}{8}=\frac{\pi a^2}{2}.\]

4. Треугольник со сторонами \(6\), \(8\), \(10\) прямоугольный. Радиус окружности, описанной около его основания:

\[r=\frac{10}{2}=5.\]

Центр шара находится на середине высоты призмы, поэтому:

\[R=\sqrt{5^2+12^2}=13.\]

Ответы: \(7\); \(54\); \(\frac{\pi a^2}{2}\); \(13\).

0 0 Пожаловаться