Четырёхугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26. Найти площадь четырёхугольника PQRS.

Пусть \(PM=x\), \(MS=y\). Тогда из прямоугольных треугольников:

\[x^2+y^2=13^2\]

\[MR=\sqrt{26^2-10^2}=24\]

По теореме о пересекающихся хордах:

\[PM\cdot MR=QM\cdot MS\]

\[24x=10y\]

Отсюда \(y=\frac{12}{5}x\). Подставим в первое уравнение:

\[x^2+\left(\frac{12}{5}x\right)^2=169\]

\[x=5,\quad y=12\]

Значит, \(PR=5+24=29\), а \(QS=10+12=22\).

Так как диагонали перпендикулярны, площадь равна половине их произведения:

\[S=\frac{PR\cdot QS}{2}=\frac{29\cdot22}{2}=319\]

Ответ: \(319\).

0 0 Пожаловаться