На доске через запятую выписаны числа 1, 2, 3, ... 99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак "+" или "х" (умножить). После того как запятых не остается, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным — второй. Может ли второй игрок подобрать такую стратегию, чтобы всегда побеждать?

Да, второй игрок может всегда побеждать.

Рассмотрим значение выражения по модулю \(2\), то есть только его чётность. Чётные числа дают \(0\), нечётные — \(1\). Произведение, содержащее хотя бы одно чётное число, равно \(0\).

Пусть \(p_i=1\), если \(i\)-я запятая заменена на «+», и \(p_i=0\), если на «×». Тогда чётность результата равна

\[p_1+p_{98}+\sum_{k=1}^{48}p_{2k}p_{2k+1}\pmod 2.\]

Второй игрок разбивает запятые на пары: \(1\) и \(98\), затем \(2\) и \(3\), \(4\) и \(5\), …, \(96\) и \(97\).

• Если первый игрок выбирает запятую \(1\) или \(98\), второй ставит такой же знак в парной запятой.
• Если первый игрок выбирает запятую из любой другой пары, второй заменяет вторую запятую этой пары на знак \(×\).

Тогда \(p_1+p_{98}=0\), а каждое произведение \(p_{2k}p_{2k+1}\) равно \(0\). Итог всегда чётный, поэтому выигрывает второй игрок.

0 0 Пожаловаться