В Сказочном Лесу живут 5 гномиков. К Новому году каждый гномик подарил каждому столько пряников, сколько лет этому гномику. Возможно ли, что найдётся гномик, который получил 12345 пряников?

Для того чтобы понять, возможно ли, что один из гномиков получит 12345 пряников, давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

1. Условие задачи: В Сказочном Лесу живут 5 гномиков, и каждый из них дарит другим столько пряников, сколько ему лет. То есть, если гномик A — это, например, 3-летний гномик, то он подарит каждому из других 4 гномиков по 3 пряника. Каждый гномик дарит пряников столько, сколько ему лет, а значит, количество пряников, которые он получит, зависит от возраста остальных гномиков.

2. Количество пряников, которое получает каждый гномик: Каждый из 5 гномиков получает от остальных по столько пряников, сколько лет дарящему гномику. Предположим, что возраст гномиков составляет $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ лет. Тогда гномик с возрастом $a_1$ получит от других по $a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ пряников, гномик с возрастом $a_2$ получит от остальных по $a_1 + a_3 + a_4 + a_5$ пряников и так далее. Таким образом, гномик $i$ (с возрастом $a_i$) получит:

3. Общее количество пряников: Каждый гномик дарит другим столько пряников, сколько ему лет. Общее количество пряников, которое раздаётся всеми гномиками, — это сумма всех возрастов, умноженная на 4 (поскольку каждый гномик даёт пряники четырём другим гномикам):

4. Требование задачи: Нам нужно выяснить, возможно ли, чтобы один из гномиков получил 12345 пряников. Пусть возраст одного из гномиков — $a_i$, а количество пряников, которое он получит, составляет:

Нужно, чтобы $S_i = 12345$. То есть:

Пусть $A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ — сумма всех возрастов. Тогда условие задачи превращается в:

или

Поскольку сумма возрастов $A$ — это число, равное сумме пяти натуральных чисел, то $A$ обязательно будет числом, которое можно представить как сумму пяти целых чисел. Это означает, что $A$ будет не меньше 5 (если каждый из гномиков хотя бы 1 год) и не бесконечно большим. Нам нужно проверить, может ли $A$ быть таким, чтобы при этом один из возрастов $a_i$ удовлетворял условию $A = 12345 + a_i$.

Однако, если рассматривать стандартные возрастные диапазоны для персонажей вроде гномиков (например, от 1 до 100 лет), то для каждого конкретного гномика (например, если $a_i = 1, 2, 3$ и так далее) получается, что сумма возрастов $A$ будет слишком мала для того, чтобы получить число 12345.

Вывод: С учётом того, что сумма возрастов не может быть столь большой (если мы ограничиваем возраст каждого гномика разумными значениями), то невозможно, чтобы один из гномиков получил 12345 пряников.