В Сказочном Лесу живут 9 гномиков. К Новому году каждый гномик подарил каждому столько пряников, сколько лет этому гномику. Возможно ли, что найдётся гномик, который получил 123456789 пряников?

Для того чтобы найти ответ, давайте разберемся, как устроены подарки в Сказочном Лесу. У нас есть 9 гномиков, и каждый из них дарит каждому остальным столько пряников, сколько ему лет. То есть, если гномик имеет возраст $x$, он дарит каждому из остальных 8 гномиков $x$ пряников. Всего же этот гномик получает пряников от других 8 гномиков, каждый из которых дарит ему столько пряников, сколько ему лет. Если гномик $i$ имеет возраст $x_i$, то гномик с возрастом $x_i$ получит:

Нам нужно узнать, возможно ли, что один из гномиков получил 123456789 пряников. Сначала заметим, что сумма всех возрастов всех гномиков — это постоянная величина. Если суммарный возраст всех гномиков равен $S = \sum_{i=1}^{9} x_i$, то каждый гномик получает $S - x_i$ пряников. Чтобы один из гномиков получил 123456789 пряников, должно выполняться равенство:

Это означает, что сумма возрастов всех гномиков $S$ должна быть на 123456789 больше возраста конкретного гномика $x_i$. Очевидно, что такая ситуация не может возникнуть, поскольку сумма возрастов всех гномиков не может быть настолько великой, если каждый гномик — это не существо с экстремально большим возрастом.

Таким образом, ответ: нет, невозможно, чтобы один из гномиков получил 123456789 пряников.