Через какой минимальный промежуток времени модуль скорости движения точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ох, будет равен половине модуля максимальной скорости её движения, если в начальный момент времени точка находится в положении с максимальной координатой? Период колебаний T=3,6 с.

Задача связана с гармоническим движением точки вдоль оси $OX$ с периодом $T = 3,6$ с, и нужно найти минимальный промежуток времени, через который модуль скорости точки станет равным половине максимальной скорости.

Для решения задачи разберемся шаг за шагом.

1. Основные параметры гармонического колебания

Гармоническое движение точки можно описать уравнением:

где:

• $x(t)$ — положение точки в момент времени $t$,
• $A$ — амплитуда колебаний,
• $\omega$ — угловая частота,
• $\varphi$ — начальная фаза.

Также известно, что период колебаний $T$ связан с угловой частотой через формулу:

Подставим $T = 3,6$ с:

2. Скорость точки

Скорость точки — это производная от её положения по времени:

Максимальная скорость $v_{\text{max}}$ достигается, когда $\sin(\omega t + \varphi) = 1$, т.е. в момент времени, когда точка проходит через положение равновесия (то есть $x = 0$).

Таким образом, максимальная скорость:

3. Условие задачи

Нужно найти такой момент времени, когда модуль скорости точки будет равен половине максимальной скорости. То есть:

Подставим выражение для скорости:

Сократим на $A \omega$ (предполагая, что $A \neq 0$ и $\omega \neq 0$):

Это уравнение имеет решение:

Решения для синуса равного $\pm \frac{1}{2}$ появляются при углах:

4. Начальная фаза

По условию задачи, в начальный момент времени точка находится в положении с максимальной координатой, то есть $x(0) = A$. Это означает, что начальная фаза $\varphi = 0$, так как $x(t) = A \cos(\omega t)$, и при $t = 0$, $x(0) = A$.

Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

Решения для $\sin(\omega t) = \pm \frac{1}{2}$ происходят при:

Для минимального значения $t$ выберем $k = 0$, тогда:

Подставляем значение $\omega = 1,745$:

Ответ

Минимальный промежуток времени, через который модуль скорости точки будет равен половине её максимальной скорости, составляет примерно 0,3 секунды.