Найдите угол между диагоналями параллелограмма, если заданы три его вершины A(2;1; 3) , B(5; 2;−1) , C(−3; 3;−3) .Через векторы решается как то

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма с помощью векторов, нам сначала нужно найти эти диагонали. Вершины параллелограмма заданы как A(2; 1; 3), B(5; 2; -1), C(-3; 3; -3). Четвертую вершину D мы пока не знаем, но ее можно найти, зная остальные три.

Сначала найдем координаты векторов AB и AC:

AB = B - A = (5 - 2, 2 - 1, -1 - 3) = (3, 1, -4) AC = C - A = (-3 - 2, 3 - 1, -3 - 3) = (-5, 2, -6)

Далее найдем координаты четвертой вершины D. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому AD = BC. Но у нас нет координат точки D, поэтому мы найдем ее через вектор AD, который равен вектору BC. Вектор BC можно найти как BC = C - B.

BC = (-3 - 5, 3 - 2, -3 - (-1)) = (-8, 1, -2)

Теперь находим D, используя AD = BC:

AD = D - A = BC D = A + BC = (2, 1, 3) + (-8, 1, -2) = (-6, 2, 1)

Теперь у нас есть все четыре вершины параллелограмма: A(2, 1, 3), B(5, 2, -1), C(-3, 3, -3), D(-6, 2, 1). Диагонали параллелограмма - это векторы AC и BD.

AC уже был найден: AC = (-5, 2, -6) BD = D - B = (-6 - 5, 2 - 2, 1 - (-1)) = (-11, 0, 2)

Теперь, чтобы найти угол между диагоналями, используем формулу для угла между векторами:

cos(θ) = (AC · BD) / (|AC| * |BD|)

где "·" обозначает скалярное произведение векторов, а |AC| и |BD| - их длины.

Скалярное произведение AC и BD:

AC · BD = (-5) * (-11) + 2 * 0 + (-6) * 2 = 55 + 0 - 12 = 43

Длины векторов:

|AC| = √((-5)^2 + 2^2 + (-6)^2) = √(25 + 4 + 36) = √65 |BD| = √((-11)^2 + 0^2 + 2^2) = √(121 + 0 + 4) = √125

Теперь подставляем значения в формулу:

cos(θ) = 43 / (√65 * √125) cos(θ) = 43 / (√8125)

Теперь найдем θ:

θ = arccos(43 / √8125)

Это и будет искомый угол между диагоналями параллелограмма. Угол θ можно вычислить, используя калькулятор или программное обеспечение, способное обрабатывать тригонометрические функции.